Équations aux dérivées partielles
Option Ingénierie Mathématique - Mines Nancy, 2A, semestre S7
ANNÉE UNIVERSITAIRE 2026-2027Responsable du cours
Organisation
Le cours comprend 14 séances de 3 heures. Les séances articulent cours, exercices et applications autour des outils fondamentaux de l'analyse des équations aux dérivées partielles.
Le cours propose une introduction aux équations aux dérivées partielles
à partir de trois modèles directeurs :
l'équation de Poisson, l'équation de la chaleur et l'équation des ondes.
Il développe progressivement les méthodes explicites et spectrales,
les espaces de Sobolev et les formulations faibles, les méthodes
variationnelles pour les problèmes elliptiques, la théorie spectrale
du laplacien et l'étude des équations d'évolution.
Un polycopié compagnon rassemble les rappels
d'analyse fonctionnelle, de théorie des distributions, de convolution
et de transformée de Fourier utilisés au fil du cours.
Le programme est disponible sur le
syllabus 2A de l'École des Mines
.
La note finale repose sur trois évaluations individuelles organisées au cours du semestre et sur un projet d'approfondissement réalisé en binôme.
Évaluation 1
30 min
Évaluation individuelle écrite
Évaluation 2
1 h
Évaluation individuelle écrite
Évaluation 3
2 h
Évaluation individuelle écrite
Projet d'approfondissement
≈ 30 % de la note finale
Travail réalisé en binôme
Les dates des trois évaluations ainsi que la pondération précise
des différentes composantes seront communiquées au début du semestre.
1. Introduction aux EDP et formules de Green
Modèles de Poisson, de la chaleur et des ondes, problèmes bien posés, classification elliptique, parabolique et hyperbolique, domaines lipschitziens et formules de Green.
Modèles de Poisson, de la chaleur et des ondes, problèmes bien posés, classification elliptique, parabolique et hyperbolique, domaines lipschitziens et formules de Green.
2. Méthodes explicites et décomposition en modes propres
Principe spectral, séparation des variables, décomposition modale, relèvement des conditions au bord, équations de la chaleur et des ondes, transformée de Fourier.
Principe spectral, séparation des variables, décomposition modale, relèvement des conditions au bord, équations de la chaleur et des ondes, transformée de Fourier.
3. Espaces de Sobolev I
Fonctions tests, dérivées faibles, espaces de Sobolev, espace , densité, approximation lisse et inégalité de Poincaré.
Fonctions tests, dérivées faibles, espaces de Sobolev, espace , densité, approximation lisse et inégalité de Poincaré.
4. Espaces de Sobolev II, injections et trace
Injections continues et compactes, opérateur de trace, formules de Green dans le cadre Sobolev, convergence faible et méthode directe du calcul des variations.
Injections continues et compactes, opérateur de trace, formules de Green dans le cadre Sobolev, convergence faible et méthode directe du calcul des variations.
5. Problèmes elliptiques variationnels
Formulations faibles, théorème de Lax-Milgram, conditions de Dirichlet, Neumann et Robin, principes du maximum, positivité et régularité elliptique.
Formulations faibles, théorème de Lax-Milgram, conditions de Dirichlet, Neumann et Robin, principes du maximum, positivité et régularité elliptique.
6. Valeurs propres du laplacien
Problèmes spectraux, opérateur résolvant, théorème spectral compact, valeurs propres du laplacien, quotient de Rayleigh et caractérisations par min-max.
Problèmes spectraux, opérateur résolvant, théorème spectral compact, valeurs propres du laplacien, quotient de Rayleigh et caractérisations par min-max.
7. Problèmes d'évolution
Cadre fonctionnel et échelle spectrale, équations de la chaleur et des ondes sur un domaine borné, dissipation, régularisation, propagation et énergie.
Cadre fonctionnel et échelle spectrale, équations de la chaleur et des ondes sur un domaine borné, dissipation, régularisation, propagation et énergie.
| Document | Description | Lien |
|---|---|---|
| Polycopié principal | Support principal du cours : modèles d'EDP, méthodes explicites, espaces de Sobolev, formulations variationnelles, théorie spectrale et problèmes d'évolution. |
Polycopié du cours
|
| Polycopié compagnon | Rappels et outils utilisés au fil du cours : analyse fonctionnelle, espaces de Hilbert, distributions, convolution, régularisation et transformée de Fourier. |
Outils pour les EDP
|
| Projet | Présentation générale, modalités de travail, critères d'évaluation et liste des projets d'approfondissement. |
Projets d'approfondissement
|
| Emploi du temps | Emploi du temps complet du S7. |
Planning du semestre
|
Les douze premières séances sont consacrées au cours, aux exercices et aux applications. La séance 13 est réservée aux projets d'approfondissement et la séance 14 à l'évaluation finale. La progression ci-dessous est indicative et pourra être légèrement adaptée en fonction de l'avancement.
| Séance | Thème | Repères dans les supports |
|---|---|---|
| S1 | Introduction aux EDP et formules de Green. Modèles de Poisson, de la chaleur et des ondes ; conditions initiales et au bord ; problèmes bien posés ; classification des EDP ; premières formules de Green. | Polycopié principal - chapitre 1 |
| S2 | Méthodes explicites et principe spectral. Problèmes aux valeurs propres, séparation des variables et calcul des modes propres sur des domaines simples. | Polycopié principal - chapitre 2, sections 2.1 à 2.3 |
| S3 | Décompositions modales et résolution explicite. Équations de la chaleur et des ondes sur un segment, problème de Laplace, conditions au bord non homogènes et transformée de Fourier sur l'espace entier. |
Polycopié principal - chapitre 2, sections 2.4 et 2.5
Polycopié compagnon - transformée de Fourier |
| S4 | Dérivées faibles et espaces de Sobolev. Fonctions tests, distributions, dérivées faibles, définition des espaces de Sobolev et premiers exemples. |
Polycopié principal - chapitre 3, sections 3.1 et 3.2
Polycopié compagnon - chapitre 2 |
| S5 | L'espace et approximation. Densité, régularisation, caractérisation de et inégalité de Poincaré. |
Polycopié principal - chapitre 3, sections 3.3 à 3.5
Polycopié compagnon - convolution et régularisation |
| S6 | Injections de Sobolev et trace. Injections continues et compactes, opérateur de trace et sens rigoureux des conditions au bord. | Polycopié principal - chapitre 4, sections 4.1 à 4.3 |
| S7 | Convergence faible et méthode directe. Convergence faible dans les espaces de Hilbert, compacité et méthode directe du calcul des variations. |
Polycopié principal - chapitre 4, sections 4.4 et 4.5
Polycopié compagnon - chapitre 1 |
| S8 | Formulations variationnelles et théorème de Lax-Milgram. Problème de Dirichlet homogène, formulation faible, coercivité, existence et unicité. | Polycopié principal - chapitre 5, sections 5.1 à 5.3 |
| S9 | Problèmes elliptiques : conditions au bord et régularité. Dirichlet non homogène, Neumann et Robin, propriétés de signe, retour à la formulation forte et régularité elliptique. | Polycopié principal - chapitre 5, sections 5.4 à 5.8 |
| S10 | Valeurs propres du laplacien I. Problème propre de Dirichlet, opérateur résolvant, compacité et préparation du théorème spectral. |
Polycopié principal - chapitre 6, sections 6.1 à 6.3
Polycopié compagnon - opérateurs compacts |
| S11 | Valeurs propres du laplacien II. Théorème spectral, décomposition en fonctions propres, première valeur propre, quotient de Rayleigh et formules de min-max. |
Polycopié principal - chapitre 6, sections 6.4 à 6.6
Polycopié compagnon - bases hilbertiennes |
| S12 | Problèmes d'évolution. Cadre spectral, équation de la chaleur et équation des ondes sur un domaine borné ; dissipation et régularisation pour la chaleur, conservation de l'énergie et propagation pour les ondes. | Polycopié principal - chapitre 7 |
| S13 | Projets d'approfondissement. Présentations des projets réalisés en binôme, développements au tableau et discussion des illustrations numériques. | Document « Projets d'approfondissement » |
| S14 | Évaluation finale. Épreuve écrite individuelle de 2 heures portant sur l'ensemble du cours. | Évaluation finale |
Un travail mathématique en binôme
Le projet prolonge une notion rencontrée dans le cours. L'objectif n'est pas de produire un mini-cours sur un sujet nouveau, mais de choisir une question précise et de la traiter avec soin, en combinant compréhension mathématique et illustration numérique.
- un bilan écrit d'une feuille A4 recto-verso au maximum ;
- une présentation comportant au maximum cinq diapositives de contenu, hors éventuelle diapositive de titre ;
- un développement mathématique au tableau de 5 à 10 minutes, sans notes manuscrites ;
- une illustration numérique directement reliée au contenu mathématique, accompagnée du code permettant de la reproduire ;
- une participation substantielle des deux membres du binôme, chacun devant maîtriser l'ensemble du projet.
Modèles et problèmes bien posés
Valeurs propres, modes et vibrations
Problèmes elliptiques et représentations
Équations d'évolution
La difficulté intrinsèque du sujet n'est pas un critère de notation.
Un problème relativement simple mais complètement compris,
correctement justifié et clairement présenté sera préféré
à un sujet plus ambitieux dont les étapes essentielles ne sont pas maîtrisées.