Équations aux dérivées partielles

Option Ingénierie Mathématique - Mines Nancy, 2A, semestre S7

ANNÉE UNIVERSITAIRE 2026-2027
Informations générales

Responsable du cours

Yannick Privat

Organisation

Le cours comprend 14 séances de 3 heures, mêlant cours, exercices et applications.

Le cours introduit les principaux outils d'analyse des EDP à partir de trois modèles : l'équation de Poisson, l'équation de la chaleur et l'équation des ondes. Les rappels d'analyse fonctionnelle et de théorie des distributions sont regroupés dans un polycopié compagnon. Le programme détaillé est disponible dans le syllabus 2A de l'École des Mines.
Évaluation

La note finale comprend trois évaluations individuelles au cours du semestre et un projet d'approfondissement en binôme.

Évaluation 1 30 min Évaluation individuelle écrite
Évaluation 2 1 h Évaluation individuelle écrite
Évaluation 3 2 h Évaluation individuelle écrite
Projet d'approfondissement ≈ 30 % de la note finale Travail réalisé en binôme
Les dates des évaluations et la pondération précise des différentes composantes seront communiquées au début du semestre.
Programme
1. Introduction aux EDP et formules de Green
Modèles fondamentaux, classification des EDP et formules de Green.
2. Méthodes explicites et modes propres
Séparation des variables, décomposition spectrale et transformée de Fourier.
3. Espaces de Sobolev I
Dérivées faibles, densité et inégalité de Poincaré.
4. Espaces de Sobolev II
Injections, trace, convergence faible et méthode directe.
5. Problèmes elliptiques
Formulations variationnelles, Lax-Milgram et régularité.
6. Valeurs propres du laplacien
Théorie spectrale, quotient de Rayleigh et principe de min-max.
7. Problèmes d'évolution
Équations de la chaleur et des ondes.
Documents du cours
Document Contenu
PDF Polycopié principal Support du cours : modèles d'EDP, méthodes explicites, espaces de Sobolev, formulations variationnelles, théorie spectrale et problèmes d'évolution.
PDF Polycopié compagnon Rappels d'analyse fonctionnelle, espaces de Hilbert, distributions, convolution, régularisation et transformée de Fourier.
PDF Projets d'approfondissement Modalités de travail, critères d'évaluation et liste des projets proposés.
PDF Corrigé du chapitre 1 Correction des exercices.
PDF Corrigé du chapitre 2 Correction des exercices.
Organisation des 14 séances

Les douze premières séances sont consacrées au cours, aux exercices et aux applications. La séance 13 est réservée aux projets d'approfondissement et la séance 14 à l'évaluation finale. La progression ci-dessous est indicative et pourra être légèrement adaptée en fonction de l'avancement.

Séance Thème Repères dans les supports
S1 Introduction aux EDP et formules de Green. Modèles fondamentaux, problèmes bien posés, classification des EDP et formules de Green. Polycopié principal - chapitre 1
S2 Méthodes explicites et principe spectral. Séparation des variables et calcul des modes propres sur des domaines simples. Polycopié principal - chapitre 2, sections 2.1 à 2.3
S3 Décompositions modales et résolution explicite. Équations de la chaleur et des ondes sur un segment, problème de Laplace et transformée de Fourier. Polycopié principal - chapitre 2, sections 2.4 et 2.5
Polycopié compagnon - transformée de Fourier
S4 Dérivées faibles et espaces de Sobolev. Distributions, dérivées faibles et espaces de Sobolev. Polycopié principal - chapitre 3, sections 3.1 et 3.2
Polycopié compagnon - chapitre 2
S5 L'espace H01 et approximation. Densité, caractérisation de H01 et inégalité de Poincaré. Polycopié principal - chapitre 3, sections 3.3 à 3.5
Polycopié compagnon - convolution et régularisation
S6 Injections de Sobolev et trace. Injections continues et compactes, trace et conditions au bord. Polycopié principal - chapitre 4, sections 4.1 à 4.3
S7 Convergence faible et méthode directe. Convergence faible, compacité et méthode directe du calcul des variations. Polycopié principal - chapitre 4, sections 4.4 et 4.5
Polycopié compagnon - chapitre 1
S8 Formulations variationnelles et théorème de Lax-Milgram. Problème de Dirichlet, formulation faible, coercivité, existence et unicité. Polycopié principal - chapitre 5, sections 5.1 à 5.3
S9 Problèmes elliptiques : conditions au bord et régularité. Conditions de Dirichlet, Neumann et Robin ; propriétés de signe et régularité elliptique. Polycopié principal - chapitre 5, sections 5.4 à 5.8
S10 Valeurs propres du laplacien I. Résolvante compacte et théorème spectral. Polycopié principal - chapitre 6, sections 6.1 à 6.3
Polycopié compagnon - opérateurs compacts
S11 Valeurs propres du laplacien II. Décomposition spectrale, quotient de Rayleigh et principe de min-max. Polycopié principal - chapitre 6, sections 6.4 à 6.6
Polycopié compagnon - bases hilbertiennes
S12 Problèmes d'évolution. Équations de la chaleur et des ondes sur un domaine borné ; dissipation, régularisation et énergie. Polycopié principal - chapitre 7
S13 Projets d'approfondissement. Présentation des projets, développements au tableau et illustrations numériques. Document « Projets d'approfondissement »
S14 Évaluation finale. Épreuve écrite individuelle de 2 heures portant sur l'ensemble du cours. Évaluation finale
Projet d'approfondissement

Un travail mathématique en binôme

Projet en binôme sur une question liée au cours, comportant une partie mathématique et, lorsque cela est pertinent, une illustration numérique.

  • un bilan écrit d'une feuille A4 recto-verso au maximum ;
  • une restitution orale en classe par les deux membres du binôme, avec au maximum cinq diapositives de contenu, hors éventuelle diapositive de titre. Elle comprend :
    • un développement mathématique au tableau de 5 à 10 minutes, sans notes manuscrites ;
    • lorsque le sujet s'y prête, une illustration numérique directement liée au contenu mathématique, accompagnée du code permettant de la reproduire.
    Les deux membres du binôme doivent participer de façon substantielle à la présentation et maîtriser l'ensemble du projet.
Modèles et problèmes bien posés
Valeurs propres, modes et vibrations
Problèmes elliptiques et représentations
Équations d'évolution
La difficulté du sujet n'intervient pas dans l'évaluation : la maîtrise du problème et la qualité de la présentation sont privilégiées.